Aplikasi Regresi

Berikut ini diberikan contoh aplikasi penerapan model regresi multinomial logit dalam penelitian, dan cara interpretasi hasilnya. Tulisan ini diresume dari: Kizilaslan H,et.al.2008. “An Analysis of the Factors Affecting the Food Places Where Consumers Purchase Red Meat”. British Food Journal.Vol.110.No.6;2008
Penelitian dalam jurnal ini bertujuan untuk menentukan faktor sosio-ekonomi yang mempengaruhi konsumen (di Kota Torkat, Turki) dalam memilih tempat penjualan (outlet) daging. Penelitian ini menekankan pada factor-faktor sosial ekonomi yang mendorong preferensi (pilihan) konsumen pada outlet penjualan daging yang sehat.

CNC TU-3A

BAB I
PENDAHULUAN

1.1. TUJUAN PERCOBAAN
• TUJUAN UMUM
1. Praktikan dapat memahami secara umum tentang mesin CNC TU-3A
2. Praktikan dapat membedakan antara mesin fris konvensional dengan CNC TU-3A
3. Praktikan mengetahui bagian-bagian mesin dan fungsinya
4. Praktikan mengetahui prinsip kerja mesin CNC TU-3A
5. Praktikan mengerti mengenai mekanisme pemotongan pada mesin CNC TU-3A

ANALISA PEKERJAAN

A. TERMINOLOGI ANALISA JABATAN
Analisis pekerjaan adalah proses pengumpulan dan pemeriksaan atas aktivitas kerja utama di dalam sebuah posisi serta kualifikasi (keahlian, pengetahuan, kemampuan serta sifat individu lainya) yang diperlukan untuk melaksanakan aktivitas tersebut.
Untuk membuat analisis pekerjaan, kita perlu mengetahui beberapa job families dari jabatan yang akan dianalisis. Selain itu, kita juga perlu memahami beberapa istilah agar tidak terjadi kesalahan. Istilah-istilah tersebut adalah :
· Element
Elemen adalah unit praktis terkecil yang ke dalamnya setiap aktivitas pekerjaan dapat dibagi-bagi lagi.
· Task
Tugas adalah sebuah unit teridentifikasi dari aktivitas kerja yang dihasilkan melalui aplikasi perpaduan metode, prosedur, dan tehnik.
· Duty
Kewajiban adalah beberapa tugas yang berlainan yang dilaksanakan oleh seorang individu untuk menyelesaikan aktivitas kerja yang menjadi tanggung jawab individu tersebut.
· Job
Pekerjaan adalah sekelompok posisi yang agak serupa dalam hal elemen, tugas, dan tanggung jawab pekerjaan yang dicakup oleh deskripsi pekerjaan yang sama. Perbedaan antara sebuah pekerjaan dengan sebuah posisi adalah bahwa sebuah pekerjaan dapat dipegang oleh beberapa orang, sedangkan sebuah posisi tidak.
· Occupation
Jabatan adalah perpaduan pekerjaan-pekerjaan di seluruh organisasi berdasarkan keahlian, upaya, dan tanggung jawab yang dibutuhkan oleh pekerjaan.
· Job family
Keluarga pekerjaan adalah pengelompokan jabatan yang serupa.
· Job description
Deskripsi pekerjaan adalah hal-hal yang menyangkut dengan nama pekerjaan, ringkasan deskripsi pekerjaan, daftar tugas dan tanggung jawab, serta penjelasan hubungan organisasional yang terkait dengan pekerjaan tersebut.
· Job specification
Spesifikasi pekerjaan adalah merupakan standar manusianya, dan menunjukkan kualitas yang diwajibkan bagi pelaksanaan yang dapat diterima. Spesifikasi pekerjaan mengidentifikasi pengetahuan, keahlian, pendidikan, pengalaman, sertikfikasi, dan kemampuan yang dibutuhkan untuk menunaikan pekerjaan secara efektif.
· Job evaluation
Evaluasi pekerjaan adalah proses sistematik dan berurutan untuk menentukan nilai sebuah pekerjaan dalam kaitannya dengan pekerjaan yang lain. Tujuan proses ini adalah penetapan tingkat penggajian yang benar.
Ada perbedaan antara analisis pekerjaan dengan evaluasi pekerjaan. Analisis pekerjaan berhubungan dengan penelitian pekerjaan atau aktivitas rutin dari perspektif sistem. Sedangkan, evaluasi pekerjaan berhubungan dengan nilai yang dilaksanakan untuk menyediakan basis bagi kompensasi. Evaluasi pekerjaan dimulai apabila analisis pekerjaan telah diselesaikan.

MATERIAL TEKNIK

BAB I
PENDAHULUAN
PENDAHULUAN
Bahan / material merupakan kebutuhan bagi manusia mulai zaman dahulu sampai sekarang. Kehidupan manusia selalu berhubungan dengan kebutuhan bahan seperti pada transportasi, rumah, pakaian, komunikasi, rekreasi, produk makanan dll.
Perkembangan peradaban manusia juga bisa diukur dari kemampuannya memproduksi dan mengolah bahan untuk memenuhi kebutuhan hidupnya. (jaman batu, perunggu dsb).
Pada tahap awal manusia hanya mampu mengolah bahan apa adanya seperti yang tersedia dialam misalnya : batu, kayu, kulit, tanah dsb. Dengan perkembangan peradaban manusia bahan - bahan alam tsb bisa diolah sehingga bisa menghasilkan kualitas bahan yang lebih tinggi.
Pada 50 tahun terakhir para saintis menemukan hubungan sifat - sifat bahan dengan elemen struktur bahan. Sehingga bisa diciptakan puluhan ribu jenis bahan yang mempunyai sifat - sifat yang berbeda.
Ilmu dan Rekayasa Material
. Material science (Ilmu Material): disiplin ilmu yang mempelajari hubungan antara struktur material dengan sifat . sifat material.
. Material engineering (Rekayasa Material) : dengan dasar hubungan struktur dan sifat bahan, mendisain struktur bahan untuk mendapatkan sifat . sifat yang diinginkan.
. Struktur bahan : pengaturan / susunan elemen . elemen di dalam bahan.
Tinjauan struktur bahan dibedakan atas :
- Struktur subatonik : ditinjau dari susunan elektron dengan inti
- Level atom : ditinjau dari pengaturan atom atau molekul satu sama lain
- Mikroskopik : ditinjau dari kumpulan group . group atom
- Makroskopik : ditinjau dari struktur yang bisa dilihat dengan mata telanjang.
. Sifat bahan : dilihat dari kemampuan bahan menerima perlakuan dari luar.
Sifat . sifat bahan padat bisa di kelompokkan atas 6 kategori :
- sifat mekanik
- sifat listrik
- sifat termal / panas
- sifat magnet
- sifat optik
- sifat deterioratif (penurunan kualitas).
Mengapa belajar tentang bahan ?
Beberapa alasan mengapa belajar tentang bahan :
- Banyak masalah bahan yang ditemui oleh insinyur di lapangan
Contoh : masalah transmisi roda gigi.
- Untuk bisa memilih bahan sesuai dengan spesifikasi aplikasi.
Klasifikasi bahan :
Bahan bisa diklasifikasikan sbb :
- Logam : konduktor yang baik, tidak transparan.
- Keramik : campuran / senyawa logam + non logam.
- Polimer : adalah senyawa karbon dengan rantai molekul panjang, termasuk bahan plastik dan karet.
- Komposit : adalah campuran lebih dari satu bahan. (misal: keramik dengan polimer)
- Semi konduktor : adalah bahan-bahan yang mempunyai sifat setengah menghantar. .. elektronik : IC, transistor
- Biomaterial : bahan yang digunakan pada komponen-komponen yang dimasukkan ketubuh manusia untuk menggantikan bagian tubuh yang sakit atau rusak.
Material Teknik 2
BAB II
STRUKTUR KRISTAL PADATAN
2.1 STRUKTUR ATOM
Setiap atom terdiri dari inti yang sangat kecil yang terdiri dari proton dan neutron, dan di kelilingi oleh elektron yang bergerak. Elektron dan proton mempunyai muatan listrik yang besarnya 1,60 x 10-19 C dengan tanda negatif untuk elektron dan positif untuk proton sedangkan neutron tidak bermuatan listrik. Massa partikel-partikel subatom ini sangat kecil: proton dan neutron mempunyai massa kira-kira sama yaitu 1,67 x 10-27 kg, dan lebih besar dari elektron yang massanya 9,11 x 10-31 kg.
Setiap unsur kimia dibedakan oleh jumlah proton di dalam inti, atau nomor atom (Z). Untuk atom yang bermuatan listrik netral atau atom yang lengkap, nomor atom adalah sama dengan jumlah elektron. Nomor atom merupakan bilangan bulat dan mempunyai jangkauan dari 1 untuk hidrogen hingga 94 untuk plutonium yang merupakan nomor atom yang paling tinggi untuk unsur yang terbentuk secara alami.
Massa atom (A) dari sebuah atom tertentu bisa dinyatakan sebagai jumlah massa proton dan neutron di dalam inti. Walaupun jumlah proton sama untuk semua atom pada sebuah unsur tertentu, namun jumlah neutron (N) bisa bervariasi. Karena itu atom dari sebuah unsur bisa mempunyai dua atau lebih massa atom yang disebut isotop. Berat atom berkaitan dengan berat rata-rata massa atom dari isotop yang terjadi secara alami. Satuan massa atom (sma) bisa digunakan untuk perhitungan berat atom. Suatu skala sudah ditentukan dimana 1 sma didefinisikan sebagai 1/12 massa atom dari isotop karbon yang paling umum, karbon 12 (12C) (A = 12,00000). Dengan teori tersebut, massa proton dan neutron sedikit lebih besar dari satu, dan
A . Z + N Material Teknik 3
Berat atom dari unsur atau berat molekul dari senyawa bisa dijelaskan berdasarkan sma per atom (molekul) atau massa per mol material. Satu mol zat terdiri dari 6,023 x 1023 atom atau molekul (bilangan Avogadro). Kedua teori berat atom ini dikaitkan dengan persamaan berikut:
1 sma/atom (molekul) = 1 g/mol
Sebagai contoh, berat atom besi adalah 55,85 sma/atom, atau 55,85 g/mol. Kadang-kadang penggunaan sma per atom atau molekul lebih disukai; pada kesempatan lain g/mol (atau kg/mol) juga digunakan; satuan yang terakhirlah yang akan digunakan pada buku ini.
2.2 IKATAN ATOM PADA BAHAN PADAT
GAYA DAN ENERGI IKAT
Ketika atom didekatkan dari suatu jarak yang tak terbatas. Pada jarak jauh, interaksi bisa diabaikan, tetapi ketika atom saling mendekati, masing-masing memberikan gaya ke yang lainnya. Gaya ini ada dua macam, tarik atau tolak, dan besarnya merupakan fungsi jarak antar atom. Sumber gaya tarik FA tergantung pada jenis ikatan yang ada antara dua atom. Besarnya berubah dengan jarak, seperti yang digambarkan secara skematis pada Gambar 2.8a. Akhirnya, kulit elektron terluar dari kedua atom mulai tumpang tindih, dan gaya tolak yang kuat FR mulai timbul. Gaya netto FN antar dua atom adalah jumlah kedua komponen tarik dan tolak, yaitu :
FFFNA =+
yang juga merupakan fungsi jarak antar atom sebagaimana di plot pada Gambar 2.8a.Jika FA dan FR sama besar, tidak ada gaya netto, sehingga:
FFAR+=0
Kemudian kondisi kesetimbangan muncul. Pusat kedua atom tetap terpisah pada jarak keseimbangan ro seperti ditunjukkan gambar 2.8a. Pada sebagian besar atom, ro kira-kira 0,3 nm (3A). Ketika sudah berada pada posisi ini, kedua
Material Teknik 4
atom akan melawan semua usaha untuk memisahkannya dengan gaya tarik, atau untuk mendorongnya dengan gaya tolak.
Kadang-kadang lebih menyenangkan untuk menggunakan energi potensial antara dua atom daripada gaya. Secara matematik, energi (E) dan gaya (F) dihubungkan dengan :
EFd=¡ò
Atau untuk sistem atom,
EFNNr=¡Ä¡ò
=+¡Ä¡Ä¡ò¡òFdrFdrArRr Material Teknik 5
=+EEA
dimana EN, EA dan ER masing-masing adalah energi netto, energi tarik dan energi tolak bagi dua atom yang terisolasi dan berdekatan.
Gambar 2.8b menggambarkan energi potensial tarik, tolak dan energi potensial netto sebagai fungsi jarak antar atom untuk dua atom. Untuk kurva netto, yaitu jumlah kedua energi, mempunyai energi potensial dititik minimum. Pada posisi ini spasi kesetimbangan yang sama, ro, bersesuaian dengan jarak atom pada kurva energi potensial minimum. Energi Ikat untuk kedua atom ini, Eo, bersesuaian dengan energi pada titik minimum ini (juga diperlihatkan pada gambar 2.8b), dimana menyatakan energi yang diperlukan untuk memisahkan kedua atom ini kejarak yang tak terbatas.
Besar energi ikat ini dan bentuk energi vs kurva jarak antar atom berbeda dari satu material ke material lainnya, kedua variabel ini bergantung kepada jenis ikatan atom. Zat padat dibentuk dengan energi ikat yang besar, sedangkan energi ikat yang kecil lebih disukai oleh gas, kondisi cair berlaku bagi energi yang besarnya menengah. Pada umumnya untuk material padat, temperatur leleh dan sifat ikatannya mencerminkan besarnya energi ikat .
IKATAN PRIMER
a. Ikatan Ion
Biasanya ditemukan pada senyawa yang dibangun oleh unsur logam dan bukan logam. Atom logam akan memberikan elektron valensinya ke atom-atom non logam. Pada proses ini semua atom akan menjadi stabil atau mempunyai konfigurasi gas mulia dan bermuatan listrik, yaitu atom-atom ini menjadi ion. Sodium klorida (NaCl) adalah material ion klasik. Atom sodium bisa mendapatkan stuktur elektron neon (dan muatan positif tunggal) dengan menyerahkan satu elektron valensi 3s ke atom klorin. Setelah penyerahan elektron ini, ion klorin akan bermuatan negatif dan dengan konfigurasi elektron menyerupai argon, Pada sodium klorida, semua sodium dan klorin berada dalam bentuk ion. Jenis ikatan ini digambarkan secara skematik pada Gambar 2.9.
Material Teknik 6
Gaya ikat tarik menarik adalah coloumbik; yaitu ion positif dan negatif tarik menarik satu sama lain karena adanya muatan listrik netto. Untuk dua ion yang terisolasi, energi tarik EA adalah fungsi jarak atom sesuai dengan :
EArA=.
dan dengan analogi yang sama, energi tolak adalah :
EBrRn=
Pada perumusan diatas, A, B dan n adalah konstanta yang harganya tergantung pada masing-masing sistem ion. Harga n kira-kira 8.
Material ion mempunyai karakteristik keras dan rapuh, secara listrik dan termal adalah isolator.
b. Ikatan Kovalen
Pada ikatan kovalen, konfigurasi elektron stabil diperoleh dengan membagi elektron antara atom yang berdekatan. Dua atom yang berikatan kovalen masing-masing akan menyumbangkan minimal satu elektron keikatan, dan elektron yang dipakai bersama bisa di anggap dipunyai bersama oleh kedua atom. Ikatan kovalen digambarkan secara skematik pada Gambar 2.10 untuk molekul metana (CH4). Atom karbon mempunyai empat elektron valensi,
Material Teknik 7
sedangkan setiap atom hidrogen mempunyai sebuah elektron valensi. Setiap atom hidrogen bisa mendapatkan konfigurasi elektron helium (dua elektron valensi 1s) ketika atom karbon membaginya dengan satu elektron. Karbon sekarang mempunyai empat tambahan elektron, satu dari setiap hidrogen sehingga total elektron valensi menjadi delapan, dan struktur elektronnya adalah neon.
Jumlah ikatan kovalen yang mungkin untuk suatu atom ditentukan oleh jumlah elektron valensi. Untuk elektron valensi N¡¯, sebuah atom bisa berikatan kovalen paling banyak 8-N¡¯ dengan atom lainnya. Contohnnya: N¡¯ = 7 pada klorin, dan 8-N¡¯ = 1, artinya satu atom Cl bisa berikatan hanya dengan satu atom lainnya seperti Cl2. Dengan cara yang sama untuk atom karbon N¡¯ = 4, dan setiap atom karbon mempunyai 8 - 4 yaitu empat elektron untuk dibagi. Intan adalah struktur yang berinteraksi secara tiga dimensi dimana setiap atom karbon berikatan kovalen dengan atom karbon lainnya. Susunan intan ini diperlihatkan pada Gambar 13.15.
Ikatan kovalen bisa sangat kuat seperti pada intan, dimana intan sangat sangat keras dan mempunyai temperatur leleh yang sangat tinggi yaitu >3550¡ÆC (6400 ¡ÆF ), atau ikatan kovalen bisa sangat lemah seperti pada bismut, dimana akan meleleh pada 270¡ÆC (518¡ÆF). Material polimer bercirikan ikatan ini, dimana struktur molekul dasar yang dipunyai rantai karbon yang
Material Teknik 8
panjang diikat bersama-sama secara kovalen dengan dua dari empat ikatan yang tersedia untuk setiap atomnya.
Adalah mungkin ikatan antar atom mempunyai ikatan yang sebagian berikatan ion dan sebagian lain berikatan kovalen, dan kenyatannya sangat sedikit senyawa yang menunjukan murni mempunyai ikatan ion atau ikatan kovalen saja.
c. Ikatan Logam
Ikatan logam, jenis ikatan primer terakhir, ditemukan pada logam dan paduannya. Material logam mempunyai satu, dua atau paling banyak tiga elektron valensi. Dengan model ini, elektron valensi tidak terikat kepada atom tertentu pada bahan padat namun lebih kurang ia akan bebas hanyut/bergerak melewati keseluruhan logam. Elektron ini bisa dianggap dimiliki oleh logam secara keseluruhan, atau membentuk ¡°lautan elektron¡± atau ¡°awan elektron. Gambar 2.11 memperlihatkan ilustrasi skematik ikatan logam.
Ikatan ini bisa lemah atau kuat, jangkauan energinya antara 68 kJ/mol (0,7 ev/atom) untuk raksa hingga 850 kJ/mol (8.8 ev/atom) untuk wolfram. Temperatur leleh masing-masing berturut-turut adalah .39 dan 3410 0C (.38 dan 61700F).
Material Teknik 9
IKATAN SEKUNDER ATAU IKATAN VAN DER WAALS
Ikatan sekunder, van der Waals atau fisik adalah lemah jika dibandingkan dengan ikatan primer atau kimia; energi ikat biasanya dalam kisaran 10 kJ/mol (0,1 ev/atom). Ikatan sekunder timbul antara semua atom atau molekul, tapi keberadaannya tidak jelas jika salah satu dari ketiga jenis ikatan primer ada. Ikatan sekunder dibuktikan oleh gas mulia, yang mempunyai struktur elektron yang stabil, dan juga diantara molekul yang strukturnya berikatan kovalen.
Gaya ikatan sekunder timbul dari dipol atom atau molekul. Pada dasarnya sebuah dipol listrik timbul jika ada jarak pisah antara bagian positif dan negatif dari sebuah atom atau molekul. Ikatan di hasilkan dari gaya tarik-menarik coulombik antara ujung positif sebuah dipol dan bagian negatif dari dipol yang berdekatan, sebagaimana ditunjukan pada Gambar 2.12. Interaksi dipol terjadi antara dipol-dipol terimbas, antara dipol terimbas dengan molekul polar (yang mempunyai dipol permanen), dan antara molekul-molekul polar. Ikatan hidrogen, jenis khusus dari ikatan sekunder, ditemukan pada beberapa molekul dimana hidrogen sebagai salah satu komponen. Mekanisme ikatan ini akan dibicarakan secara singkat berikut ini.
a. Ikatan Dipol Terimbas yang Berfluktuasi
Sebuah dipol bisa dihasilkan atau diimbaskan ke sebuah atom atau molekul yang simetris secara listrik, yaitu distribusi ruang keseluruhan elektron simetris terhadap inti bermuatan positif, sebagaimana diperlihatkan Gambar 2.13a. Semua atom mengalami gerak vibrasi konstan, yang akan menyebabkan distorsi seketika dan berumur pendek, terhadap simetri listrik pada beberapa atom atau molekul, dan menimbulkan dipol listrik kecil, seperti yang digambarkan oleh Gambar 2.13b.
Material Teknik 10
Salah satu dipol ini pada gilirannya bisa menimbulkan sebuah pergerakan pada distribusi elektron dari molekul atau atom yang berdekatan, yang membuat atom atau molekul kedua ini menjadi dipol yang kemudian dengan lemah ditarik atau diikat ke atom atau molekul yang pertama; ini adalah satu jenis ikatan van der Waals. Gaya-gaya tarik ini bisa timbul diantara sejumlah besar atom atau molekul, dimana gaya-gaya ini bersifat sementara dan berfluktuasi terhadap waktu.
Proses pencairan dan, dalam bebarapa hal, proses pembekuan dari gas mulia dan molekul lain yang simetris dan netral secara listrik seperti H2 dan Cl2 dipercaya disebabkan oleh ikatan jenis ini. Temperatur leleh dan didih adalah sangat rendah pada material dimana ikatan dipol terimbas dominan, dan dari semua ikatan antar molekul yang mungkin terjadi, ikatan ini paling lemah.
b. Ikatan Antara Dipol Molekul Polar dan Dipol Terimbas
Momen dipol permanen timbul pada beberapa molekul karena susunan yang tidak simetris dari daerah yang bermuatan positif dan negatif; molekul ini disebut molekul polar. Gambar 2.14 adalah penggambaran skematik dari molekul hidrogen klorida; momen dipol permanen timbul dari muatan netto dari muatan positif dan negatif yang masing-masing berkaitan dengan ujung-ujung hidrogen dan klorin dari molekul HCl.
Material Teknik 11
Molekul polar bisa juga mengimbaskan dipol pada molekul non polar didekatnya, dan sebuah ikatan akan terbentuk sebagai hasil gaya tarik menarik antara dua molekul ini. Lebih jauh, besar ikatan ini akan lebih besar dari pada dipol terimbas yang berfluktuasi.
c. Ikatan Dipol Permanen
Gaya van der Waals juga akan timbul diantara molekul polar yang berdekatan. Energi ikat yang terkait lebih besar secara signifikan dari pada energi ikat yang ada pada dipol terimbas.
Jenis ikatan sekunder yang paling kuat, ikatan hidrogen, adalah kasus khusus dari ikatan molekul polar. Ikatan ini terjadi antara molekul dimana hidrogen berikatan kovalen dengan fluorin (sebagai HF), dengan oksigen (sebagai H2O), dan dengan nitrogen (sebagai NH3).
Untuk setiap ikatan H-F, H-O atau H-N, elektron hidrogen tunggal dibagi bersama dengan atom lainnya. Maka, ujung hidrogen dari ikatan pada dasarnya adalah proton terbuka yang bermuatan positif, yang tak terlindungi oleh elektron. Ujung molekul yang bermuatan positif sangat tinggi ini mempunyai gaya tarik yang kuat terhadap ujung negatif dari molekul yang berdekatan, seperti ditunjukan pada Gambar 2.15 untuk HF. Besar ikatan hidrogen umumnya lebih besar dari ikatan sekunder jenis lainnya, dan bisa mencapai 51 kJ/mol (0,52 ev/molekul.
Material Teknik 12
2.3 MOLEKUL
Molekul bisa didefinisikan sebagai sebuah kelompok atom yang terikat bersama-sama oleh ikatan primer yang kuat. Dalam konteks ini, keseluruhan spesimen padat yang terikat dengan ikatan logam dan ion bisa dianggap sebagai molekul tunggal. Pada cairan terkondensasi dan bahan padat, ikatan antar molekulnya adalah ikatan sekunder lemah. Konsekuensinya, material molekul mempunyai temperatur leleh dan didih yang rendah. Sebagian besar dari mereka yang mempunyai molekul kecil yang dibentuk oleh beberapa atom adalah gas pada temperatur dan tekanan biasa atau ambien. Disisi lain, banyak polimer modern, merupakan material molekul yang dibangun oleh molekul yang sangat besar, berada pada kondisi padat; beberapa dari sifat-sifat mereka sangat bergantung kuat atas keberadaan ikatan sekunder van der Waals dan hidrogen.
2.4 KRISTAL
Material kristal adalah material padat dimana atom-atomnya tersusun dalam susunan yang berulang dan periodik pada dimensi yang besar yaitu atom-atom berada pada kondisi ¡°keteraturan jarak panjang¡±. Untuk material non-kristal atau amorfus, keteraturan atom jarak panjang tidak muncul.
SEL SATUAN
Ketika menerangkan struktur kristal, atom (atau ion) dilukiskan sebagai bola padat dan model ini disebut dengan model bola keras atom dimana setiap bola akan menyinggung bola terdekat.
Susunan atom pada kristal padat memperlihatkan bahwa sekelompok kecil atom membentuk pola yang berulang. Karena itu dalam menerangkan struktur kristal, lebih mudah untuk membagi struktur ke dalam kesatuan kecil yang berulang yang disebut sel satuan. Sel satuan pada sebagian besar struktur kristal berbentuk jajaran genjang atau prisma yang mempunyai tiga set permukaan yang sejajar (gambar 3.1c), dimana dalam hal ini sebuah kubus.
Material Teknik 13
Sel satuan bisa kadang-kadang digambarkan dengan model sel satuan bola diperkecil seperti terlihat pada gambar 3.1b.
SISTEM KRISTAL
Jika dilihat dari geometri sel satuan, ditemukan bahwa kristal mempunyai tujuh kombinasi geometri yang berbeda seperti diperlihatkan pada tabel 3.2.
Material Teknik 14
Pada sebagian besar logam, struktur kristal yang dijumpai adalah: kubus pusat sisi, FCC (face-centered cubic), kubus pusat ruang, BCC (body-centered cubic) dan tumpukan padat heksagonal, HCP (hexagonal close-packed).
Material Teknik 15
Beberapa logam, dan juga non-logam, bisa mempunyai lebih dari satu struktur kristal, fenomena ini disebut polimorfisme. Jika kondisi ini dijumpai pada bahan padat elemental maka disebut alotropi.
KUBUS PUSAT SISI, FCC
Struktur kristal ini termasuk kristal kubus dimana terdapat atom disetiap sudut kubus ditambah masing-masing satu buah atom di setiap permukaan/sisi kubus. Sifat ini banyak dijumpai pada logam seperti tembaga, aluminium, perak dan emas. Gambar 3.1 memperlihatkan kristal jenis ini. Panjang sisi kubus a dan jari-jari atom R dihubungkan dengan persamaan: aR=22
Fraksi volume bola padat di dalam sel satuan atau disebut faktor penumpukan atom, FP dirumuskan:
FP = volume atom didalam sel satuan
volume total sel satuan
Untuk struktur FCC, Faktor Penumpukan Atom adalah 0,74. Logam umumnya mempunyai faktor penumpukan atom yang relatif besar untuk memaksimalkan efek pembungkusan oleh elektron bebas.
KUBUS PUSAT RUANG, BCC
Struktur kristal ini mempunyai atom di setiap sudut kubus ditambah sebuah atom didalam kubus, seperti yang ditunjukkan gambar 3.2.
Panjang sel satuan dirumuskan dengan: aR=43
Faktor Penumpukan Atom kristal ini adalah 0,68.
Material Teknik 16
TUMPUKAN PADAT HEKSAGONAL, HCP
Gambar 3.3 memperlihatkan sel satuan jenis ini. Sel satuan jenis ini adalah jenis sel satuan heksagonal. Permukaan atas dan bawah sel satuan terdiri dari enam atom yang membentuk heksagonal yang teratur dan mengelilingi sebuah atom ditengah-tengahnya. Bidang lain yang mempunyai tiga atom tambahan pada sel satuan terletak antara bidang atas dengan bidang bawah. Enam atom ekivalen dipunyai oleh setiap sel satuan ini.
Material Teknik 17
Faktor penumpukan atom untuk sel satuan HCP adalah sama dengan sel satuan FCC. Logam yang mempunyai struktur kristal ini antara lain: cadmium, magnesium, titanium dan seng.
KERAPATAN ATOM
Kerapatan atom struktur kristal bisa dicari dengan persamaan: ¥ñ=nAVNCA
dimana : n = jumlah atom yang terkait dengan sel satuan
A = berat atom
VC = volume sel satuan
NA = bilangan avogadro (6,023 x 1023 atom/mol)
ARAH KRISTALOGRAFI
Ketika berurusan dengan material kristal, sering diperlukan untuk menentukan beberapa bidang kristalografi atau arah kristalografi. Arah kristalografi didefinisikan sebagai sebuah garis antara dua titik, atau sebuah vektor. Langlah-langkah dalam menentukan indeks arah:
1. Sebuah vektor dengan panjang tertentu diletakkan sedemikian sehingga vektor tersebut melewati titik asal sistem koordinat. Vektor bisa ditranlasikan di sepanjang kisi kristal tanpa perubahan, jika keparalelannya dijaga.
2. Tentukan panjang proyeksi vektor pada masing-masing sumbu; Proyeksi diukur dalam dimensi sel satuan yaitu a, b, dan c.
3. Ketiga angka ini dikali atau dibagi dengan suatu faktor untuk mendapatkan bilangan bulat terkecil.
4. Tiga indeks yang didapat, ditulis tanpa memakai koma dan diberi tanda kurung persegi, [u v w]. u, v, dan w adalah harga proyeksi pada sumbu x, y dan z.
Catatan: Jika indeks negatif, tanda negatif ditulis dengan strip diatas indeks.
Material Teknik 18
Contoh:
Carilah indeks arah gambar dibawah ini.
Jawab:
Vektor melewati titkk awal sistem koordinat, karena itu tidak dibutuhkan translasi. Proyeksi vektor pada sumbu x, y dan z masing-masing adalah a/2, b dan 0c, yang menjadi ¨ö, 1 dan 0 dalam satuan parameter sel satuan( a, b, c). Untuk mendapatkan bilangan bulat terkecil, angka-nagka dikalikan dengan 2 sehingga didapatkan 1, 2, 0 yang kemudian diberi tanda kurung menjadi [1 2 0]. Prosedur ini bisa ditunjukkan sebagai berikut:
Material Teknik 19
x y z
proyeksi a/2 b 0c
proyeksi (dalam satuan a,b,c) ¨ö 1 0
pembulatan 1 2 0
diberi kurung [1 2 0]
BIDANG KRISTALOGRAFI
Bidang kristalografi dituliskan dengan indeks Miller dalam format (h k l). Bidang-bidang yang paralel satu sama lain adalah ekivalen dan mempunyai indeks yang identik.
Prosedsur dalam menentukan indeks Miller adalah sebagai berikut:
1. Jika bidang melalu titik awal, buat bidang paralel lainnga di dalam sel satuan dengan translasi. Atau dengan membuat titik awal lain di sudut lain sel satuan.
2. Bidang yang dicari bisa berpotongan atau sejajar dengan sumbu. Panjang bidang yang berpotongan ditulis dalam satuan parameter kisi a, b dan c.
3. Ambil kebalikan dari angka-angka perpotongan tersebut. Bidang yang sejajar dengan sumbu dianggap berpotongan di tak berhingga sehingganya kebalikannya adalah nol.
4. Bila perlu robah ketiga bilangan ini ke bilangan bulat terkecil dengan mengali atau membaginya dengan suatu faktor tertentu.
5. Tulis indeks ini tanpa koma dengan diapit tanda kurung biasa, (h k l).
Catatan: Jika indeks negatif, tanda negatif ditulis dengan strip diatas indeks.
Material Teknik 20
Contoh:
Tentukan indeks Miller dari bidang yang ditunjukkan gamabr dibawah ini.
Material Teknik 21
Jawab:
Karena bidang melalui titik awal O, titik awal yang baru mesti dibuat, ditulis sebagai O¡¯, diperlihatkan pada gambar b. Bidang ini paralel dengan sumbu x, sehingga perpotongannya di ¡­a. Perpotongan dengan sumbu y dan z dengan referensi titik awal O¡¯ adalah -b dan c/2. Dalam satuan parameter kisi a, b,c maka perpotongan bidang adalah , ¡­, -1 dan ¨ö, dan karena angkanya sudah bulat tidak perlu lagi langkah pembulatan. Terakhir ditulis dengan tanda kurung menjadi (0 1 2).
Langkah-langkah ini secara ringkas disimpulkan sebagai berikut:
x y z
perpotongan ¡­a -b c/2
perpotongan (dalam satuan a,b,c) ¡­ -1 ¨ö
pembalikan 0 -1 2
pembulatan (tidak diperlukan)
tutup kurung (0 1 2)
KRISTAL TUNGGAL
Untuk bahan padat kristal, susunan atom yang periodik dan berulang adalah sempurna atau berlanjut di keseluruhan spesimen tanpa gangguan, hasilnya disebut kristal tunggal. Semua sel satuan bersambung dengan cara yang sama dan mempunyai orientasi yang sama.
POLIKRISTAL
Sebagian besar bahan padat kristal disusun oleh sekumpulan kristal-kristal kecil atau butir. Kristal seperti ini disebut polikristal. Berbagai tingkat dalam pembekuan spesimen polikristal diperlihatkan secara skematik oleh gambar 3.16. Pertama-tama kristal kecil atau nuklei terbentuk di berbagai posisi. Kristal ini mempunyai orientasi kristalografi acak, sebagaimana ditunjukkan oleh jaring persegi. Butir-butir kecil tumbuh. Ujung-ujung atom yang berdekatan
Material Teknik 22
bersinggungan satu sama lain ketika proses pembekuan mendekati selesai. Hasilnya orientasi kristalografi akan berbeda antara satu butir dengan butir lainnya.
Material Teknik 23

LAN (Local Area Network)

Kata Pengantar

Puji Syukur ke hadirat Allah SWT karena rahmat serta karunia-Nya kelompok kami dapat membuat makalah ini. Salawat serta salam semoga selaalu tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Besar Muhammad SAW yang telah menuntun kita dari jalan yang gelap gulita ke jalan yang terang benderang.
Pada kesempatan ini kelompok kami akan menguraikan sedikit banyak tentang jaringan komputer yaitu khususnya jaringan LAN berkabel (wired network), klasifikasi jaringan LAN berkabel ( wired network), dan bagaimana jaringan LAN berkabel (wired network) saling berhubung ? sebelum kita menjawab hal tersebut, perlu kiranya kita mengetahui apa jaringan LAN berkabel (wired network) itu sebenarnya.
Pengertian jaringan LAN berkabel (wired network) dan bentuk serta jenisnya akan kita bahas pada bab-bab dalam makalah ini. Selain itu kami juga akan menjelaskan tentang hardware apa saja yang diperlukan dalam sebuah jaringan komputer.
Kami menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini tidaklah sempurna. Namun, besar harapan kami agar makalah ini dapat menjadi sumber referensi bagi pembaca serta bias dimanfaatkan untuk memperluas ilmu pengetahuan khususnya tentang jaringan komputer.







BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak terlepas dari komunikasi. Komunikasi merupakan sangat hal yang sangat penting dalam kehidupan manusia karena pada dasarnya kita adalah makhluk sosial, karena dengan komunikasi kita bias dapat saling berinteraksi satu sama lain. Komunikasi bisa dilakukan secara langsung dengan tatap muka dan juga bisa lewat jarak jauh. Untuk melakukan komunikasi jarak jauh tersebut dibutuhkan alat yang bisa menghubungkan kita dengan orang lain.
Komunikasi jarak jauh dapat ditempuh melalui telepon, gelombang radio elektromagnetik, dan televisi, dan melaui itu semua dunia jadi lebih kecil karena orang dapat mengetahui dan mendapatkan informasi tentang hal yang terjadi di belahan dunia lain di dunia ini.
Dalam telekomunikasi, informasi disampaikan melaui sinyal. Sinyal ada dua macam, sinyal digital dan sinyal analog. Sinyal digital yaitu sinyal yang diwakili oleh angka 0 dan 1. Sedangkan sinyal analog yaitu sinyal yang terus menerus dengan variasi kekuatan dan kualitas misalnya suara, cahaya, suhu yang dapat berubah-ubah kualitasnya. Data analog dikirimkan dalam bentuk yang berkelanjutan, sinyal elektrik berkelaanjutan dalam bentuk gelombang. Televisi, telepon dan radio adalah teknologi komunikasi yang menggunakan sinyal analog, sedangkan komputer menggunakan sinyal digital untuk transfer informasi. Namun saat ini sinyal digital juga digunakan untuk suara, gambar dan gabungan keduanya. Di sisi lain, computer yang awalnya dimanfaatkan sebagai mesin penghitung dan pengolah data, digunakan sebagai alat komunikasi sejak adanya jaringan komputer.


I.2 Batasan Masalah
Batasan masalah pada makalah dari kelompok kami yaitu, kami menguraikan tentang jaringan komputer yaitu LAN berkabel (wired network).
I.3 Tujuan
Adapun tujuan dari kelompok kami menulis makalah ini adalah sebagai tugas mata kuliah sistem informasi manajemen dan kemudian di persentasekan agar bermanfaat bagi seluruh mahasiswa.















BAB II
PEMBAHASAN
JARINGAN LAN BERKABEL (WIRED NETWORK)

II.1 Pengertian LAN berkabel (wired network)
Secara umum LAN (Local Area Network) adalah suatu kumpulan komputer, dimana terdapat beberapa unit komputer (client) dan 1 unit komputer untuk bank data (server). Antara masing-masing client maupun antara client dan server dapat saling bertukar file maupun saling menggunakan printer yang terhubung pada unit-unit komputer yang terhubung pada jaringan LAN.
Pada makalah ini kelompok kami akan membahas jaringan LAN berkabel (Wired Network). Pada jaringan ini, untuk menghubungkan satu komputer dengan komputer lain diperlukan penghubung berupa kabel jaringan. Kabel jaringan berfungsi dalam mengirim informasi dalam bentuk sinyal listrik antar komputer jaringan. Namun, pada jaringan LAN khususnya jaringan berkabel (wired network) menghubungkan suatu komputer dengan komputer lain dalam jarak yang terbatas. Berdasarkan kabel yang digunakan ,ada dua cara membuat jaringan LAN, yaitu dengan kabel BNC dan kabel UTP. Namun yang pada umumnya digunakan adalah kabel UTP, dan yang akan dibahas dalam makalah ini adalah jaringan LAN berkabel (wired network) dengan menggunakan kabel UTP.

II.2 Keuntungan Jaringan LAN berkabel (wired network)
Keuntungan Jaringan LAN.
• Pertukaran file dapat dilakukan dengan mudah (File Sharing).
• Pemakaian printer dapat dilakukan oleh semua client (Printer Sharing).
• File-file data dapat disimpan pada server, sehingga data dapat diakses dari semua client menurut otorisasi sekuritas dari semua karyawan, yang dapat dibuat berdasarkan struktur organisasi perusahaan sehingga keamanan data terjamin.
• File data yang keluar/masuk dari/ke server dapat di kontrol.
• Proses backup data menjadi lebih mudah dan cepat.
• Resiko kehilangan data oleh virus komputer menjadi sangat kecil sekali.
• Komunikasi antar karyawan dapat dilakukan dengan menggunakan E-Mail & Chat.
• Bila salah satu client/server terhubung dengan modem, maka semua atau sebagian komputer pada jaringan LAN dapat mengakses ke jaringan Internet atau mengirimkan fax melalui 1 modem.

II.3 Klasifikasi Jaringan LAN Berkabel (wired Network)
Berdasarkan fungsi , Pada dasarnya setiap jaringan komputer ada yang berfungsi sebagai client dan juga server. Tetapi ada jaringan yang memiliki komputer yang khusus didedikasikan sebagai server sedangkan yang lain sebagai client. Ada juga yang tidak memiliki komputer yang khusus berfungsi sebagai server saja. Karena itu berdasarkan fungsinya maka ada dua jenis jaringan komputer:
• Client-server
Yaitu jaringan komputer dengan komputer yang didedikasikan khusus sebagai server. Sebuah service/layanan bisa diberikan oleh sebuah komputer atau lebih. Contohnya adalah sebuah domain seperti www.detik.com yang dilayani oleh banyak komputer web server. Atau bisa juga banyak service/layanan yang diberikan oleh satu komputer. Contohnya adalah server jtk.polban.ac.id yang merupakan satu komputer dengan multi service yaitu mail server, web server, file server, database server dan lainnya.



• Peer-to-peer
Yaitu jaringan komputer dimana setiap host dapat menjadi server dan juga menjadi client secara bersamaan. Contohnya dalam file sharing antar komputer di Jaringan Windows Network Neighbourhood ada 5 komputer (kita beri nama A,B,C,D dan E) yang memberi hak akses terhadap file yang dimilikinya. Pada satu saat A mengakses file share dari B bernama data_nilai.xls dan juga memberi akses file soal_uas.doc kepada C. Saat A mengakses file dari B maka A berfungsi sebagai client dan saat A memberi akses file kepada C maka A berfungsi sebagai server. Kedua fungsi itu dilakukan oleh A secara bersamaan maka jaringan seperti ini dinamakan peer to peer.

II.4 Topologi Jaringan yang biasa digunakan dalam jaringan LAN berkabel (wired network)
Dalam merancang sebuah jaringan Local Area Network (LAN), sangat perlu ditentukannya topologi jaringan yang akan digunakan agar nantinya sesuai dengan kebutuhan kita, ini penting karena sangat berpengaruh terhadap penggunaan dan proses perawatan jaringan itu sendiri serta pengembangannya ke depan.
Jika terjadi kesalahan dalam penentuan topologi jaringan mengakibatkan mubazirnya jaringan yang terpasang dan hanya menghabiskan biaya semata karena jaringan yang terpasang tidak dapat berfungsi secara optimal.
Untuk penentuan Topologi jaringan LAN mana yang akan di pasang dan sesuai dengan kebutuhan serta biaya yang tersedia di perusahaan tempat kerja kita sebaiknya kita mengenal dulu beberapa topologi LAN yang sudah tentu memiliki beberapa kelebihan serta kekurangannya masing-masing sepeti berikut :



Topologi BUS






Dikatakan topologi BUS karena cara menghubungkan beberapa komputer dalam satu jaringan lokal yang berbentuk sepertu jalur BUS.

Adapun kelebihan dan kekurangan dari topologi BUS adalah sebagai berikut :
Kelebihan
-Hemat Kabel
-Perancangan kabel sederhana
-Mudah dikembangkan
Kekurangan :
-Kesalahan sulit dideteksi
-Terjadi kepadatan lalulintas data pada jalur tertentu
-Diperlukan penguat/repeater untuk jarak jauh


Topologi Ring/Cincin







Topologi Ring adalah cara menghubungkan beberapa computer dalam satu jaringan sehingga berbentuk seperti cincin/ring (lingkaran).
Transfer data di lakukan dari salah satu client di kirim ke setiap node/simpul, kemudian setiap node atau simpul mengecek informasi data tersebut apakah untuk client itu atau bukan.
Kelebihan :
-Memiliki 2 (dua) jalur komunikasi
-Hemat kabel
Kekurangan :
-Pekah terhadap kesalahan
-Dapat menimbulkan kepadatan lalulintas bila banyak komputer dalam jaringan
-Kaku dalam pengembangan jaringan
Topologi Bintang/Star

Topologi bintang adalah menghubungkan beberapa unit computer dalam satu jaringan berbentuk seperti bintang/star.
Komunikasi data yang terjadi pada topologi Star ini adalah terpusat pada satu pengontrol komunikasi data. Pusat dari komunikasi data tersebut disebut server dan komputer lainnya di sebut klien/client.
Kelebihan :
-Kerusakan pada satu saluran tidak mengganggu saluran lainnya
-Tingkat keamanan termasuk tinggi
-Tahan terhadap kesibukan lalulintas data dalam jaringan
-Penambahan maupun pengurangan stasiun tidak mengganggu stasiun lainnya
-Mudah dalam mendeteksi kesalahan
-Mudah dalam perawatan jaringan
Kerugian :
-Boros kabel
-Perlu adanya penangan khusus
-Hub menjadi elemen yg sangat kritis
II.5 Contoh Jaringan LAN Berkabel (wired network)
Dalam makalah ini kelompok kami akan mencoba menguraikan contoh jaringan LAN berkabel (wired network), dan kami mengambil contoh pada warnet yang kami wawancarai kemudian kami akan mencoba menguraikan sistem jaringan LAN berkabel (wired network) yang dipakai oleh warnet tersebut. Contoh warnet yang kami wawancarai yaitu Global Net yang belokasi di Komp.Dosen UNHAS Tamalanrea Blok AB 1 A. Global Net merupakan warnet yang menerapkan sistem jaringan LAN berkabel (wired network).
Untuk menyusun jaringan LAN dan menghubungkan ke internet, Global Net memiliki komponen-komponen yang tersusun dari :
1. Modem : merupakan alat yang memiliki fungsi sebagai perantara bagi pemakai jasa internet, yang disambungkan pada komputer dan jalur telepon kemudian menghubungkan komputer tersebut ke jalur internet.








Contoh gambar Modem




2. Hub : Hub adalah istilah umum yang digunakan untuk menerangkan sebuah central connection point untuk komputer pada network. Fungsi dasar yang dilakukan oleh hub adalah menerima sinyal dari satu komputer danmentransmisikannya ke komputer yang lain.




Contoh gambar Hub

3. Kabel UTP : Kabe UTP merupakan kabel yang biasa digunakan untuk membuat jaringan atau network computer, yang dimana kabel UTP ini berupa kabel yang didalamnya berisi empat (4) pasang kabel yang yang setiap pasangnya adalah kembar dengan ujung konektor RJ-45.






Contoh gambar Kabel UTP


4. Komputer Server :

II. 6. Rekomendasi Teknis untuk Tingkat Universitas
Untuk tingkat universitas, diambil contoh di gedung rektorat dapat diaplikasikan penggunaan jaringan wired (LAN) pada tiap bidang di dalam gedung tersebut. Jaringan yang diberlakukan menggunakan sistem peer to peer, dimana setiap komputer berfungsi sebagai server sekaligus client.
Pembagiannya yaitu untuk tiap komputer di setiap bidang mempunyai beberapa komputer yang masing-masing adalah server sekaligus client tidak terkecuali, sementara yang menjadi pusatnya adalah bagian Pusat Informasi dan Teknologi.








Sementara untuk mahasiswa dalam mengakses bidang-bidang tersebut, disediakan jaringan wireless yang bisa digunakannya dan dimanfaatkannya. Jaringan wireless ini menjadi jaringan resmi dari pihak rektorat untuk memmudahkan mahasiswa melakukan akses ke rektorat. Pada jaringan tersebut bisa disediakan keyword untuk keamanan akses sehingga yang bisa mengakses adalah PC yang sudah terdaftar secara resmi, tau bisa juga alternatif setiap PC memiliki keyword masing-masing yang sudah terdaftar sebelumnya.
Untuk komputer di setiap bidang dapat mengetahui secara keseluruhan isi sistem berdasarkan bagiannya masing-masing, sementara mahasiswa hanya dapat mengakses atau melihat hal-hal umum misalnya informasi-informasi mengenai kemahasiswaan dan lain-lain. Sementara yang dapat melihat secara keseluruhan sistem disemua bidang yaitu Sistem Teknologi dan Informasi.

Regresi dan Korelasi

Persamaan Regresi merupakan persamaan matematika yang menyatakan hubungan fungsional antara satu peubah tak bebas (respons) dengan satu atau lebih peubah bebas (deterministik)
Korelasi merupakan ukuran keeratan hubungan antara satu peubah dengan peubah yang lain
Regresi Linear Sederhana
Regresi linear sederhana menggambarkan hubungan linier antara satu peubah tak bebas dengan satu peubah bebas X yang dinyatakan dalam suatu bentuk persamaan garis lurus. Dalam analisi regresi sederhana akan dikembangkan sebuah estimating equating (persamaan regresi) yaitu suatu formula yang mencari nilai variabel dependen dari nilai variabel independent yang diketahui dimana kedua variabel tersebut masing – masing hanya satu.
Analisa regresi digunakan terutama untuk tujuan peramalan. Dalam beberapa hal, kita bisa mengecek asumsi tersebut setelah hubungan diperkirakan.
Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana
Y = a + bX
Dimana;
Y : peubah takbebas
X : peubah bebas
a : konstanta
b : kemiringan
dengan;
b = (n∑_(i=1)^n▒〖xiyi- (∑_(i=1)^n▒xi) 〗 (∑_(i=1)^n▒yi))/(n∑_(i=1)^n▒〖x_i^2- (∑_(i=1)^n▒xi)^2 〗)

a = y – bx

CONTOH KASUS:
Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOLI perusahaan Minyak Goreng.

TAHUN X y xy x2 y2
Biaya Promosi Volume Penjualan
(Juta Rupiah) (Ratusan Juta Liter)
1992 2 5 10 4 25
1993 4 6 24 16 36
1994 5 8 40 25 64
1995 7 10 70 49 100
1996 8 11 88 64 121
∑ 26 40 232 158 346

Bentuk umum persamaan regresi linear sederhana : Y = a + bX
n = 5
b = (n∑_(i=1)^n▒〖xiyi- (∑_(i=1)^n▒xi) 〗 (∑_(i=1)^n▒yi))/(n∑_(i=1)^n▒〖x_i^2- (∑_(i=1)^n▒xi)^2 〗)
b = ((5 ×232)-(26×40))/((5×158)-(〖26〗^2))
b = (1160-1040)/(790-676)
b = 120/114
b = 1.053
a = (∑_(i=1)^n▒yi)/n- b (∑_(i=1)^n▒xi)/n
a = 40/5- (1.053×26/5)
a = 8 – (1.053 5.2)
a = 8 – 5.47
a = 2.53
Y = a + b X
Y = 2.53 + 1.053X
Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume penjualan dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut
Y = 2.530 + 1.053 X
Perkirakan Volume penjualan jika dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta ?
Jawab : Y = 2.530 + 1.053 X
X = 10
Y = 2.53 + 1.053 (10) = 2.53 + 10.53 = 13.06 (ratusan juta liter)
Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter

KORELASI LINEAR SEDERHANA

Koefisien Korelasi (r) : ukuran hubungan linier peubah X dan Y Nilai r berkisar antara (+1) sampai (-1).
Nilai r yang (+) ditandai oleh nilai b yang (+)
Nilai r yang (-) ditandai oleh nilai b yang (-)
Jika nilai r mendekati +1 atau r mendekati -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier yang tinggi. Jika nilai r = +1 atau r = -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier sempurna. Jika nilai r = 0 maka X dan Y tidak memiliki relasi (hubungan) linier (dalam kasus r mendekati 0, anda dapat melanjutkan analisis ke regresi eksponensial).
Dimana;
r = (n∑_(i=1)^n▒〖xiyi-(∑_(i=1)^n▒xi)(∑_(i=1)^n▒yi) 〗)/√([n∑_(i=1)^n▒〖〖xi〗^2-(∑_(i=1)^n▒xi)^2 〗][n∑_(i=1)^n▒〖〖yi〗^2- (∑_(i=1)^n▒yi)^2 〗] )






CONTOH KASUS
Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOLI perusahaan Minyak Goreng.

TAHUN X y xy x2 y2
Biaya Promosi Volume Penjualan
(Juta Rupiah) (Ratusan Juta Liter)
1992 2 5 10 4 25
1993 4 6 24 16 36
1994 5 8 40 25 64
1995 7 10 70 49 100
1996 8 11 88 64 121
∑ 26 40 232 158 346

Telah diketahui dari data:
Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346
Sehingga r dapat di hitung berdasarkan rumus berikut:
r = (n∑_(i=1)^n▒〖xiyi-(∑_(i=1)^n▒xi)(∑_(i=1)^n▒yi) 〗)/√([n∑_(i=1)^n▒〖〖xi〗^2-(∑_(i=1)^n▒xi)^2 〗][n∑_(i=1)^n▒〖〖yi〗^2- (∑_(i=1)^n▒yi)^2 〗] )
r = ((5×232)-(26×40))/√([(5×158)-〖(26)〗^2 ]×[(5×346)-〖(40)〗^2 ] )
r = (1160-1040)/√([790-676][1730-1600] )
r = 120/√(114×130)
r = 120/√14820
r = 120/121.73
r = 0.9857
Nilai r = 0.9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume penjualan) berkorelasi linear yang positif dan tinggi.

STATISTKA

Definisi dan Pengertian
 Statistika adlah suatu metode ilmiah dalam mengumpulkan, mengklasifikasikan, meringkas, menyajikan, dan menganalisis data guna mendukung pengambilan kesimpulan yang valid dan berguna sehingga dapat menjadi dasar pengambilan keputusan yang masuk akal.
 Populasi adalah kumpulan dari keseluruhan pengukuran, objek, atau individu yang sedang dikaji.
 Sampel adlah sebagian, atau subset (himpunan bagian) dari suatu populasi.
 Parameter adalah bilangan atau angka yang menggambarkan karakteristik suatu populasi.
Statistic adalah bilangan atau angka yang menggambarkan karakteristik suatu sampel.
 Variable adalah symbol yang dapat bernilai berapapun dari sekumpulan nilai yang telah dijelaskan terlebih dahulu atau disebut juga domaindari variable yang bersangkutan.
 Statistic deskriptif/dedyktif.
Tahapan statistic yang meliputi kegiatan mengumpulkan, mengklasifikasikan, meringkas, menginterpretasikan, dan menyajikan data dari suatu kelompok yang terbatas, tanpa menganalisis atau menarik kesimpulan yang bias berlaku bagi kelompok yang lebih luas merupakan ruang lingkup dari statistic deskriptif/deduktif.
 Statistic inferensial/induktif
Proses pengambilan keputusan mengenai parameter populasi berdasarkan informasi yang diperoleh dari statistic sampel merupakan ruang lingkup dari statistic inferensial/induktif.


Peranan Statistik dan Penerapannya di Bidang Teknik
 Mengapa statistic diperlukan.
Ada dua alasan yang utama yaitu:
 Menggambarkan hubungan antara variable variable.
 Sebagai alat bantu pengambilan keputusan.
 Peranan statistic di bidang teknik.
Dalam praktek di berbagai bidang keteknikan metode statistic member pendekatan-pendekatan yang sangat berguna, sebagai contoh:
 Pencegahan kegagalan dalam suatu desain mesin/proses.
 Analisis eksperimen teknik
 Pengendalian mutu manufaktur
Metode Pemecahan Masalah Secara Statistik.
Pemecahan masalah secara statistic akan lebih baik apabila dilakukan dengan pendekatan yang teratur. Jika salah satu langkah ini diabaikan, hasil akhir cenderung akan tidak valid, tidak akurat, ataupun kelewat mahal. Langkah-langkah dasar pemecahan masalah tersebut antara lain:
 Identitas masalah, peniliti harus memahami dengan jelas dan mampu mengidentifikasi apa yang sebenarnya ingin dipenuhi dalam kajian yang dilakukan.
 Pengumpulan fakta-fakta yang ada, data yang dikumpulkan harus akurat, singkat namun selengkap mungkin, serta harus relevan terhadap masalah yang dihadapi.
 Pengumpulan data baru: alat bantu dan sampel. Terkadang peneliti harus mengumpulkan data baru karena data yang dibutuhkan tidak tersedia. Terdapat keuntungan dengan mengumpulkan data baru yaitu kita bias mendefinisikan variable-variabel masalah sehingga fakta-fakta yang didapat mempunyai sifat-sifat yang dibutuhkan untuk memecahkan masalah tersebut.
 Pengklasifikasian dan peringkasan data. Yaitu mengidentifikasikan data yang karakteristiknya sejenis dan mengaturnya dalam suatu kelompok atau kelas.
 Penyajian dan analisis data. Penyajiannya bias dalam bentuk table, diagram, dan ukuran kuantitatif utama yang akan mempermudah pemahaman masalah.
 Pengambilan keputusan. Mempertimbangkan pilihan yang ada dengan berpedoman pada tujuan yang hendak dicapai sesuai dengan perencanaan atau keputusan yang mewakili pemecahan yang tebaik dari masalah yanf dihadapi.
Peranan Komputer dalam Statistik
 Statistik dan Komputer.
Dalam statistic, koomputer akan sangat berguna jika jumlah data yang harus ditangani sangat banyak, proses pengolahan data harus digunakan berulang-ulang, dan kompleksitas pemrosesan tidak memberikan alternative lain.
 Spreadsheet dan paket program statistic.
Alat bantu perangkat lunak computer yang digunakan dalam analisis data tersebut dapat digolongkan atas program spreadsheet elektronik dan paket program statistic.
Spreadsheet adlah sebuah program yang dapat menerima nilai data yang diberikan oleh pengguna di dalam kolom dan baris dari lembar kerjanya.
Program spreadsheet yang popular digunakan adalah lotus 1-2-3 dan Microsoft excel.

PSIKOLOGI INDUSTRI

1.      Manajemen By Objective

Manajemen By Objectives pertama kali dijelaskan oleh Peter Drucker pada 1954 dalam buku ‘Praktik Manajemen’. Menurut Drucker manajer harus menghindari ‘kegiatan perangkap’, sehingga mendapatkan mereka terlibat dalam kegiatan sehari-hari mereka lupa bahwa mereka tujuan utama atau tujuan. Salah satu konsep MBO adalah bahwa alih-alih hanya beberapa top-manajer, semua manajer sebuah perusahaan harus berpartisipasi dalam proses perencanaan strategis, dalam rangka untuk meningkatkan implementability dari rencana. Lain dengan konsep Manajemen By Objectives adalah, bahwa manajer harus melaksanakan berbagai kinerja sistem, yang dirancang untuk membantu organisasi agar berfungsi dengan baik. Jelas, Manajemen By Objectives dapat dipandang sebagai pendahulu dari Manajemen Berbasis Nilai.

Prinsip - prinsip Manajemen By Objective: 

Menetapkan tujuan organisasi dan tujuan secara umum,  Tujuan spesifik untuk setiap anggota,  Partisipatif dalam pengambilan keputusan,
Jangka waktu yang jelas dan tegas, dan  Evaluasi kinerja dan memberikan tanggapan. 

Pada 90-an, Peter Drucker menempatkan Sinyalemen ini dalam manajemen organisasi dalam metode perspektif, Peter Drucker berkata: “Ini hanya tool yang lain. Ini bukan obat yang manjur untuk menyembuhkan dari ketidakfungsian manajemen … oleh Manajemen By Objectives berfungsi jika Anda tahu tujuan, dari 90 %  waktu Anda yang tidak ketahui. ”

Management By Objectives diawali dengan mengasumsikan bahwa manusia pada dasarnya suka bekerja, ingin mencapai sesuatu, dapat mendorong dan mengerahkan diri sendiri.  Tujuan Management By objectives adalah mendorong partisipasi  anggota dan memperjelas serta mengkomunikasikan tujuan dan hasil yang ingin diharapkan. Kunci dalam Management By Objectives adalah partisipasi dan komunikasi dalam penetapan tujuan atau perencanaan disamping sistem informasi manajemen, pengolahan data elektronik, pengembangan organisasi dan directing costing.

2.      Work redesign

Work re-design dapat berisi sebagian atau seluruh perubahan dalam hal spesifikasi dan aktifitas tenaga kerja, deskripsi kerja, metode kerja, serta hubungan dari pekerjaan dan hasil atau performa yang diinginkan. Dalam hal ini pekerjaan dapat di desain untuk mendapatkan dampak motivasi tenaga kerja, dimana dalam mendesain suatu pekerjaan diperlukan suatu kerangka berfikir bahwa pekerja dapat menerima pekerjaannya. Selain itu perlu diperhatikan apakah proses motivasional ini akan mengundang ketakutan dan sanksi atau partisipasi aktif tenaga kerja.

J. Richard Hckman dan Greg Oldham mengembangkan suatu model karakteristik pekerjaan, dimana work re design perlu dilakukan agar suatu pekerjaan memiliki 5 dimensi penting :

a. Skill variety

b. Task Idetity

c. Task Significance

d. Autonomy

e. Feedback

3.      Alternative Work Schedule

4.      How do foemal system of discipline operate? What are their advantage and disadvantage?

5.      Bagaimana cara mengukur kepuasan kerja dan kinerja kerja?

a.      Kepuasan Kerja

Pengukuran kepuasan kerja ternyata sangat bervariasi, baik dari segi analisa statistik maupun dari segi pengumpulan datanya. Informasi yang didapat dari kepuasan kerja ini biasanya melalui tanya jawab secara perorangan, dengan angket maupun dengan pertemuan kelompok kerja (Riggio:2005). Dalam semua kasus, kepuasan kerja diukur dengan kuesioner laporan diri yang diisi oleh karyawan. Pengukuran kepuasan kerja dapat dilakukan melalui beberapa pendekatan, yaitu kepuasan kerja dilihat sebagai konsep global, kepuasan kerja dilihat sebagai konsep permukaan, dan sebagai fungsi kebutuhan yang terpenuhkan.

1. Pengukuran kepuasan kerja dilihat sebagai konsep global

Konsep ini merupakan konsep satu dimensi, semacam ringkasan psikologi dari semua aspek pekerjaan yang disukai atau tidak disukai dari suatu jabatan. Pengukuran ini dilakukan dengan menggunakan kuesioner satu pertanyaan (soal). Cara ini memiliki sejumlah kelebihan, diantaranya adalah tidak ada biaya pengembangan dan dapat dimengerti oleh mereka yang ditanyai. Selain itu cara ini cepat, mudah diadministrasikan dan diberi nilai. Kuesioner satu pertanyaan menyediakan ruang yang cukup banyak bagi penafsiran pribadi dari pertanyaan yang diajukan. Responden akan menjawab berdasarkan gaji, sifat pekerjaan, iklim sosial organisasi, dan sebagainya .

2. Pengukuran kepuasan kerja dilihat sebagai konsep permukaan

Konsep ini menggunakan konsep facet (permukaan) atau komponen, yang menganggap bahwa kepuasan karyawan dengan berbagai aspek situasi kerja yang berbeda dapat bervariasi secara bebas dan harus diukur secara terpisah. Diantara konsep facet yang dapat diperiksa adalah beban kerja, keamanan kerja, kompetensi, kondisi kerja, status dan prestise kerja. Kecocokan rekan kerja, kebijaksanaan penilaian perusahaan, praktek manejemen, hubungan atasan-bawahan, otonomi dan tanggung jawab jabatan, kesempatan untuk menggunakan pengetahuan dan keterampilan, serta kesempatan untuk pertumbuhan dan pengembangan.

3. Pengukuran kepuasan kerja dilihat sebagai kebutuhan yang terpenuhkan

Yaitu suatu pendekatan terhadap pengukuran kepuasan kerja yang tidak menggunakan asumsi bahwa semua orang memiliki perasaan yang sama mengenai aspek tertentu dari situasi kerja, pendekatan ini dikembangkan oleh Porter. Kuesioner Porter didasarkan pada pendekatan teori kebutuhan akan kepuasan kerja. Kuesioner ini terdiri dari 15 pertanyaan yang berkaitan dengan kebutuhan akan rasa aman, penghargaan, otonomi, sosial, dan aktualisasi diri. Berdasarkan kebutuhan dan persepsi orang itu sendiri mengenai jabatannya, tiap responden menjawab tiga pertanyaan mengenai masing-masing pertanyaan: (1) Berapa yang ada sekarang? (2) Berapa seharusnya? (3) Bagaimana pentingnya hal ini bagi saya?. Berdasarkan tanggapan terhadap pertanyaan mengenai pemenuhan kebutuhan kerja tersebut, kepuasan kerja diukur dengan perbedaan antara “Berapa yang ada sekarang?” dan “Berapa yang seharusnya?”, semakin kecil perbedaan, maka semakin besar kepuasannya.

Nilai yang terpisah dihitung untuk masing-masing dari lima kategori kebutuhan. Pertanyaan “Bagaimana pentingnya hal ini bagi saya?” memberikan kepada penyilid ukuran kekuatan relatif dari masing-masing kebutuhan bagi tiap responden.

Sementara itu menurut Robbins (Wibowo:2007) ada dua pendekatan yang digunakan untuk melakukan pengukuran kepuasan kerja yaitu :

1. Single Global Rating yaitu meminta individu merespon atas suatu pertanyaan seperti; dengan mempertimbangkan semua hal, seberapa puas anda dengan pekerjaan anda? Individu bisa menjawab puas dan tidak puas.
2. Summation Scorenyaitu dengan mengidentifikasi elemen kunci dalam pekerjaan dan menanyakan perasaan pekerja tentang maing-masing elemen. Faktor spesifik yang diperhitngkan adalah sifat pekerjaan, supervisi, upah, kesempatan promosi dan hubungan dengan rekan kerja.

Pendapat lain, Greenberg dan Baron menunjukkan tiga cara untuk melakukan pengukuran kepuasan kerja yaitu :

1. Rating Scale dan Kuesioner

Dengan metode ini orang menjawab pertanyaan dari kuesioner yang menggunakan rating scales sehingga mereka melaporkan reaksi mereka pada pekerjaan mereka.

2. Critical incidents

Individu menjelaskan kejadian yang menghubungkan pekerjaan mereka yang dirasaka terutama memuaskan atau tidak memuaskan. Jawaban mereka dipelajari untuk mengungkap tema yang mendasari. Sebagai contoh misalnya apabila banyak pekerja yang menyebutkan situasi pekerjaan dimana mereka mendapatkan perlakuan kurang baik oleh supervisor atau sebaliknya.

3. Interviews

Dengan melakukan wawancara tatap muka dengan pekerja dapat diketahui sikap mereka secara langsung dan dapat mengembangkan lebih dalam dengan menggunakan kuesioner yang terstruktur.

b.      Kinerja Kerja

Secara teoretikal berbagai metode dan teknik mempunyai sasaran yang sama, yaitu menilai prestasi kerja para karyawan secara obyektif untuk suatu kurun waktu tertentu dimasa lalu yang hasilnya bermanfaat bagi organisasi atau perusahaan, seperti untuk kepentingan mutasi pegawai maupun bagi pegawai yang bersangkutan sendiri dalam rangka pengembangan karirnya. Untuk mencapai kedua sasaran tersebut maka digunakanlah berbagai metode pengukuran kinerja karyawan menurut Heidjrachman Ranupandojo dan Suad Husnan dalam bukunya “Manajemen Personalia” (1984:122-127) yang dewasa ini dikenal dan digunakan adalah :

• Rangking, adalah dengan cara membandingkan karyawan yang satu dengan karyawan yang lain untuk menentukan siapa yang lebih baik.

• Perbandingan karyawan dengan karyawan, adalah suatu cara untuk memisahkan penilaian seseorang ke dalam berbagai faktor.

• Grading, adalah suatu cara pengukuran kinerja karyawan dari tiap karyawan yang kemudian diperbandingkan dengan definisi masing-masing kategori untuk dimasukkan kedalam salah satu kategori yang telah ditentukan.

• Skala gratis, adalah metode yang menilai baik tidaknya pekerjaan seorang karyavvan berdasarkan faktor-faktor yang dianggap penting bagi pelaksanaan pekerjaan tersebut. Masing-masing faktor tersebut. seperti misalnya kualitas dan kuantitas kerja, keterampilan kerja, tanggung jawab kerja, kerja sama dan sebagainya.

• Checklists, adalah metode penilaian yang bukan sebagai penilai karyawan tetapi hanya sekedar melaporkan tingkah laku karyawan.

Tugas 2

Psikologi Industri

Nama        : Nurhidayah

Stambuk   : D 221 08 252

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI

JURUSAN MESIN FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2010

VEKTOR

VECTORS TUTORIAL Introduction A vector is a quantity that has both a magnitude and a direction. Many of you will have seen vector quantities before in high school math and physics. In linear algebra, vectors can be interpreted both analytically (by numbers and variables) and geometrically (in a picture or graph). A quantity with a magnitude but no direction is referred to as a scalar. Scalars are denoted by lowercase letters, such as x, y, z, a, b, k, and they represent real numbers. Vectors are denoted by either a bold-faced lowercase letter, such as u, v, w, or by the names of the start and end points together with an arrow above. For example, in the xy-plane,    In the above example, the components of the vectors are [2,4]. These were found by subtracting the x and y values at A from the x and y values at B. If we wanted to call this vector w, we would write w=[2,4].  Note that vectors are also often shown in column notation, such as  .  The simplest way to understand vectors is to begin with 2-dimensional vectors in the xy-plane. Let v=[a,b]. In this case, a and b are the components of v. In the xy-plane, a represents the x component of the vector and b represents the y component. The length and direction of the vectors are determined by these components. For example, if we begin at the origin (0,0), then v=[1,2] would be the vector starting at (0,0) and ending at (1,2). However, two vectors are said to be equivalent (or equal) if their components are the same. Therefore, a vector u=[1,2] starting at the point (2,4) would end at the point (2 + 1,4 + 2) = (3,6), but is still equivalent to v. So we can write v=u, since although they lie at different locations on the xy-plane, their components (and therefore length and direction) are the same. Vectors can also be interpreted geometrically in the 3-dimensional space xyz. In 3 dimensions, a vector v=[a,b,c] has 3 components. Similar to 2-dimensional vectors, the components a, b, and c represent the x, y, and z direction of the vector respectively. For example, beginning again at the origin (0,0,0), vector v=[4,3,5] would be represented by an arrow starting at (0,0,0) and ending at (4,3,5). Again, any vector with components [4,3,5] would be considered equal to v, regardless of where it begins in the xyz space. Although difficult to interpret geometrically, vectors exist in any n-dimensional space. An n-dimensional vector has n components. For example, a vector u in Rn (the n-dimensional real number space) would have components u1, u2, u3, and so on, up to un. Most vector operations are true for n-dimensional vectors. The exception is the formula for angles between vectors (the answer is true, but the angle found is only relevant in 2 or 3 dimension vector spaces). As well, two vectors u and v in Rn are considered equal if and only if their components are equal (uk = vk for all k = 1...n). ________________________________________ Vector Operations Vector Length Sometimes it is necessary to find the length of a vector (also called the norm or magnitude of a vector.) If we have a vector u=[u1, u2, u3, ..., un], the length of the vector is found by the formula,   If we have a vector u, the length (or norm, or magnitude) of u is denoted by either |u| or ||u||. The textbook outlines how the formula for length is derived from other vector operations. The length of a vector is found as follows:   Addition/Subtraction Vector addition involves adding the components of the vectors together. Geometrically, this can be interpreted as adding the vectors 'tip-to-tail.' In order to add two vectors, they must be in the space with the same number of components (for instance, a two-dimensional vector cannot be added to a three-dimensional vector). For example, let u=[3,1] and v=[2,5]. To add u + v, we must add their respective x and y components together,   In two and three dimensions, vector addition can be interpreted geometrically. The 'tip-to-tail' method involves arranging the vectors to be added together by starting each vector at the end of the previous one (the 'tip' of the first vector is where you place the 'tail' of the next vector.) The end result can be found by finding the vector that starts at the tail of the first vector, and ends at the tip of the last vector. For example, let u=[2,1], v=[4,4], and w=[1,3]. The result is shown below:   The resulting vector u + v + w=[7,8] is the same as is found by adding the components of the three vectors together. Similar addition can be performed with 3 dimensional vectors by placing the vectors tip-to-tail, and finding the vector that runs from the starting point to the end of the last vector to be added. For example, let u=[3,1,-2] and v=[4,0,3]. By adding components, we find that u + v = [3 + 4, 1 + 0, (-2) + 3] = [7,1,1]. (Note that in the above example, u had a negative component in the z direction. Vector components can be any real number, positive or negative.) When adding vectors in Rn, we can always add them by simply adding their components. If u=[u1, u2, ..., un] and v=[v1, v2, ..., vn], then u + v=[u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn] 1 | Find the sum of the vectors in Rn where n>3  Vector subtraction is simply the negative of addition. Let's start in two dimensions for simplicity's sake. Let v=[2,3] and w=[4,1]. Then what is v - w? To find v - w, we use the fact that v - w = v + (-w). Then to find -w, all we have to do is change the sign on all components of w. So since w=[4,1], -w=[-4,-1], and by adding components, v + (-w) =[2 + (-4), 3 + (-1)] = [2-4, 3-1] = [-2, 2]. So v - w=[-2, 2]. Geometrically, taking the negative of a vector makes the vector have the same length, but point in the exact opposite direction. We show the above example geometrically below,   When taking the negative of a vector, it is very important to change the sign of every component of that vector. So, if u=[2, -3, 0, 4] in R4, then -u=[-2, 3, 0, -4]. Note that since the formula for the length of a vector involves squaring each component, then |u| = |-u|. As with vector addition, the vectors involved must all have the same number of components. Geometric vector subtraction in 2 or 3 dimensions is still done by the tip-to-tail method, but the vector to be subtracted must be turned in the opposite direction (which is the equivalent of changing the sign of each component.) Scalar Multiplication Multiplication involving vectors is not quite the same as ordinary multiplication involving only scalars. Scalar multiplication involves multiplying a scalar number by a vector. Let k be a scalar, and u be a vector in Rn. Since u=[u1, u2, ..., un], then the product ku=[ku1, ku2, ..., kun]. This is scalar multiplication. Each component of the vector u is simply multiplied by the scalar k. The result is a vector, and If k>0, then ku is in the same direction as u, with length k|u| If k=0, then ku is the zero vector (the starting point is the same, but the length is zero) If k<0, then ku is in the opposite direction as u, with length |k||u| We already used scalar multiplication in our look at subtraction, where (-1)u = -u. As expected, 1u=u. The following table sums up the properties of vector addition/subtraction and scalar multiplication so far.  1) u + v = v + u 2) u + (v + w) = (u + v) + w 3) u - v = u + (-v) 4) k(u + v) = ku + kv 5) Let a,b be scalars. a(bu) = (ab)u = (ba)u 6) (a + b)u = au + bu 7) |ku| = |k||u| 8) u - u = u + (-u) = 0 (The zero vector) Note an important fact, that |u + v| ≤ |u| + |v|   Linear Combinations and Coordinate Axes Using the concept of scalar multiplication, we can now consider a fact: two vectors u and v in Rn are parallel if and only if u = kv for some real scalar k. For example, u=[2,3] is parallel to v=[8,12], since 4u=v, or u=¼v. Using this fact, we can now discuss linear combinations. If we have a set of vectors v1, v2, ..., vn, then a vector v is a linear combination of v1, v2, ..., vn if there is a set of scalars c1, c2, ..., cn (called coefficients) such that v = c1v1 + c2v2 + ... + cn vn. For example, u=[2, 5, 7] is a linear combination of v=[1, 3, 2] and w=[2, 7, 1] since u = 4v - w. Now let's look at another definition. In an n-dimensional space, the standard unit vectors e i where i = 1,2,...,n are the vectors with a 1 as the ith component, and zeroes for all the other components. They are called unit vectors since they have a length of 1. In 2 and 3 dimensions, these vectors form the basis for the coordinate systems that we use for graphing and interpreting vectors geometrically. e1, e2 and e3 form the x, y, and (in 3 dimensions) z axes respectively. In R2, it is possible to form any vector using a linear combination of two non-parallel vectors. We can use this fact to define new coordinate axes other than e1, e2. This is outlined in the following example.    2 | Find the equation of the line using projections  ________________________________________ Lines and Planes in 3 Dimensions You might think that a single equation such as ax + by + cz = d would be the general equation of a line in 3 dimensions. However, such an equation defines a plane in R3, which geometrically is a flat surface which carrys on forever in the space. This is explained by our normal form for the equation of a line, where n • x = n • p. In 3 dimensions, a vector has infinitely many orthogonal vectors, which sweep out around it forming a plane, whereas in 2 dimensions the orthogonal vector is unique and forms a line. So how is a line defined in 3 dimensions? We have a couple of options. We can use two equations of the form ax + by + cz = d, (or two normal form equations) which would define two planes, and then find the line where those two planes intersect. This requires knowledge from the next section on solving systems, and is quite tedious in most situations. Our vector and parametric equations, however, are easy to generalize to three dimensions. To define a line in 3 dimensions, we simply need to add a third component to the vector equation (or a corresponding third parametric equation.) Let's look at some examples.   From the above example, it can be seen how 3 dimension vector and parametric equations for a line are as easy to use as they were for 2 dimensions. The vector form of the equation for a line allows us to use a single equation to describe a line in 2 or 3 dimensions, rather than needing one general equation for a 2 dimension line or two general equations for a line in 3 dimensions. As mentioned above, a single general equation of the form ax + by + cz = d describes a plane in the three dimensional space. In addition, the vector n=[a,b,c] represents the normal vector of the plane, that is, a vector which is orthogonal to the entire plane. The scalar value d is similar to the y-intercept of a line; it defines where the plane is located. Similarly, the normal form for the equation of a plane is defined by the single equation n • x = n • p, where n=[a,b,c] is the normal vector orthogonal to the plane, and p is a vector from the origin to a point on the plane. We can also define a plane using vector and parametric equations. In order to do this, we need a vector p to a point on the plane, and two nonparallel direction vectors u and v. By having two direction vectors, we can find all points on the plane by using all scalar multiples su and tv, similar to the vector equation of a line. The parametric equations are again just the componentwise equations that make up the vector equation. Let's look at some more examples.   Distance between a Point and a Line or Plane We have easy to use formulas to find the distance from a given point to a line or a plane. They are based on the idea of vector projections, and a more detailed explanation is given in the textbook. Here, we will give the formulas, and a few examples of their use. Given a line l and a point A(x0,y0,z0) in two dimensions (on the plane, xy-plane or otherwise), the distance from A to the line is given by the formula,   where l is given by the general equation ax + by = c Given a plane P and a point A(x0,y0,z0), the distance from the point A to the plane is given by the formula,   where P is given by the general equation ax + by + cz = d Let's look at a couple of examples:   The Cross Product The final part of this tutorial is a special vector operation called the cross product. The cross product is only valid in R3, and it gives us a vector orthogonal to any two nonparallel vectors. Given vectors u=[u1,u2,u3] and v=[v1,v2,v3], the cross product u × v = [(u2v3 - u3v2), (u3v1 - u1v3), (u1v2 - u2v1)]. This is a pretty complicated formula to try and remember, but there are a couple of tricks that you can use. You may notice that in the first bracket, there are no subscript 1's, in the second, no 2's, and in the third, no 3's. Another, more visual, way to remember is to write out the components of the vectors as follows (this method is also shown in the textbook),   If you write out the two vectors in columns twice side by side as shown above, you first cross out the top and bottom pairs. Then, add products from the top-to-bottom diagonals shown in blue, and subtract products from the bottom-to-top products shown in red. The cross product formula is complicated, but important to memorize it for this and other math courses. Once we're familiar with matrices and determinants, there is another method for finding the cross product, but we'll leave it for now, since we haven't seen determinants yet. Please note that u × v = - (v × u). It's also important to remember that while the dot product gives us a scalar, the cross product gives us another vector in R3.  We end with some examples of the cross product.   3 | Find the general equation of the plane  | Top of Page |      Distance Between Vectors We may sometimes be interested to know how far apart two vectors are, when arranged with their tips or tails at the same point. To do this, we use the formula d(u,v) = ||u - v||. Using this formula, we are finding the length of the vector that would connect the tails of both vectors. This formula is valid for all vectors in Rn. Let's look at some examples:   Angle Between Vectors in R2, R3 The dot product also allows us to come up with a convenient formula to find the angle between two vectors. This formula uses the law of cosines, which is a geometric rule valid in R2 and R3 only, but it can be used as a definition to develop further formulas in Rn   In order to find the exact angle in the above example, we can use the following table for some common values for cosθ, in order to find the exact degree or radian value for θ. By remembering that in a right-angle triangle, cosine = (adjacent/hypotenuse), we can use the following triangles to build the table below.     We can now use this table to find the exact angle between vectors u and v in the previous example,     Orthogonality In the above table, we can see that cosθ = 0 when θ = 90°. From our formula for angle, we can see that cosθ = 0 if and only if u • v = 0. This gives us the following definition for orthogonality. Two vectors u and v are considered to be orthogonal if and only if u • v = 0. This is denoted by, u ⊥ v ⇔ u • v = 0 The symbol '⊥' denotes orthogonality. In R2 and R3, orthogonal vectors are equivalent to perpendicular vectors (remember that perpendicular lines or vectors are at a 90° right angle to one another.) In Rn, the definition of orthogonality allows us to generalize the idea of perpendicular vectors where our usual ideas of geometry don't always apply. The following example makes use of our definition of orthogonal vectors.   We can use orthogonality to state Pythagoras' Theorem in terms of vector lengths. Given two vectors u and v, we can say they are orthogonal if and only if ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2, that is u ⊥ v ⇔ ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2  The Dot Product The dot product is a form of multiplication that involves two vectors with the same number of components. Unlike scalar multiplication, where the result is still a vector, the result of finding the dot product of two vectors is a scalar (real number). The math involved in finding the dot product is straight forward. To find the dot product of two vectors, we multiply like components, and find their sum. If we have vectors u=[u1, u2,...,un] and v=[v1, v2,..., vn], then the dot product is found by the formula, u • v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn. The following are properties of the dot product: 1)u • v = v • u 2)u • (v + w) = u • v + u • w 3)cu • v = c(u • v), where c is a scalar 4)u • u ≥ 0, and u • u = 0 if and only if u = 0 5)||v|| =   We can use the dot product along with the above properties to derive many important formulas and concepts in linear algebra. The proofs for many of these are found in the textbook, but here we will look just at the formulas and examples of their uses. Normalizing a Vector Normalizing a vector involves finding a vector that is in the same direction as the original vector, but whose length is exactly one. Vectors of length one are called unit vectors. The standard unit vectors shown above are a special case of unit vectors. To find the unit vector, we must find a scalar to multiply the vector by in order to change its length to 1. To do this, we must find the length of the vector and multiply the vector by the reciprocal of the length, as follows.   Since normalizing the vector involves scalar multiplication by a positive number, the direction of v is the same as the direction of u, only the length is changed. Cauchy-Schwarz Inequality and Triangle Inequality The dot product allows us to derive two important mathematical inequalities. The proofs are left to the textbook, but they are listed here: 1) Cauchy-Schwarz Inequality: |u • v| ≤ ||u|| ||v|| 2) Triangle Inequality: ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| We showed the triangle inequality previously as a note regarding vector length, but it is also an important mathematical inequality that is used elsewhere, and should be remembered. It is easy to see in the xy plane that this is true (hence the name triangle inequality),   It should be noted that in R2 and R3, the triangle inequality is only equal if the two vectors are colinear, that is, they lie on exactly the same straight line when put tip-to-tail (such as vectors a and b in the above picture.)